- 多様体
\(M\)と包絡体\(O^{\Lambda V}\)の厳密定義
以下では，Skinohedron の基礎構造を「滑らかな多様体」「ベクトル束」「層状球殻」「セル分割」という４つの要素から定式化します。
1.1 基底多様体 \(M\) とベクトル束 \(V\)
数式による定義
\begin{cases}
M:\ \text{コンパクトな滑らかなリーマン多様体（次元 }d\text{）},\
\pi:V\to M,\quad V_x\simeq\mathbb{R}^n:\ \text{実ランク-}n\text{ベクトル束},\
h_x:\ V_x\times V_x\to\mathbb{R}:\ \text{ファイバーごとの内積。}
\end{cases}
わかりやすい説明
\(M\)は境界を持たないコンパクト多様体で，計量\(g\)を備えます。\(V\)はその上の連続・滑らかなベクトル束で，内部に長さを測る内積\(h_x\)が定義されています。- この構造により，ファイバー上のベクトルのノルムや角度が意味をもちます。
1.2 変形作用素 \(\Lambda = \{\phi_k\}\) の定義
数式による定義
\phi_k\in\mathrm{Aut}(V),\quad
\phi_k\colon V\;\xrightarrow{\ \cong\ }\;V,\quad
\phi_k\text{ は各ファイバーの内積 }h_x\text{ を保存.}
わかりやすい説明
\(\phi_k\)はベクトル束全体を保つ自同型写像で，ファイバー内のベクトルを一様に「拡大／縮小」します。- 拡大率は層番号
\(k\)に対応する半径パラメータ\(r_k>0\)と紐づき，後述の球殻生成に使います。
1.3 層状球殻（包絡体）\(O^{\Lambda V}\) の構成
数式による定義
S_k \;=\;{(x,v)\in V_x \mid h_x(v,v)=r_k^2},
\qquad
O^{\Lambda V}\;=\;\bigcup_{k=0}^\infty \phi_k(S_k)\;\subset V.
わかりやすい説明
\(S_k\)は各ファイバー上で半径\(r_k\)の球殻（スフェリカルシェル）です。- 変形作用素
\(\phi_k\)をかけることで，ファイバー座標が階層的に「ねじれ」たり「伸び縮み」した複数の球殻層を得ます。 - それらを全て合わせたものが Skinohedron のベースとなる包絡体
\(O^{\Lambda V}\)です。
1.4 セル分割（Triangulation）\(\mathcal T_k\) の定義
数式による定義
\mathcal T_k = {\sigma_{k,i}\subset \phi_k(S_k)\mid i=1,\dots,8^k},
#\mathcal T_k = 8^k.
わかりやすい説明
- 各層
\(\phi_k(S_k)\)上に正四面体セルを敷き詰め，合計\(8^k\)個のセルに分割します。 - 初期層
\(k=1\)では正八面体に対応する 8 面にし，次の層では各面を 8 分割…という自己相似的なルールで細分化します。 - これにより，Skinohedron 全体が階層ごとに均一な「凸凹セル」の集合として表現できます。
1.5 まとめと次のステップ
以上で「基底多様体」「ベクトル束」「層状球殻」「セル分割」という Skinohedron の骨格を厳密に与えました。
次は
- 各セル上での離散微分幾何構造（離散外微分・ホッジ双対）
- Banach 空間
\(C^2\)における滑らかさと収束証明
